Tengo una duda... tengo bien claro cuales son las dos conjugaciones de verbos que hay quisiera saber en que momento se utilizan por que he visto que en mismas forma de conjugar se utilizan terminos (simbolos) diferentes y eso me confunde un poco.

Lo de las distintas terminaciones de la misma persona y tratándose de la misma conjugación suele crear dudas a la mayoría de los estudiantes de ruso.

Creo que ya sabes que hay ciertas consonantes que no pueden ir con ciertas vocales. Son las consonantes г, к, ж, х, ч, ш, щ después de las cuales nunca va la -ы. Por eso de "книга" formamos el plural "книги", de "кошка" - "кошки", de "борщ" - "борщи", etc.

Lo mismo pasa con los verbos, y es que después de esas consonantes tampoco pueden ir -ю y -я, así que tenemos que cambiarlas por -у y -а.

¿Cuándo se produce tal cambio? Cuando al quitar el sufijo tenemos una raíz que termina en una de estas consonantes "raras". Por ejemplo:

Дружить (tener amistad). Es el verbo de la clase - и. Quitamos el sufijo -ить.

Nos queda la raíz друж que termina justo en una consonante de esas, en la ж.
Por eso la conjugación va a ser así (fíjate en la 1a persona de singular y la 3a de plural)

дружу, дружишь, дружит, дружим, дружите, дружат.

Писать (escribir) Es un verbo que en presente cambia de raíz. Pasamos de пис a пиш. No me preguntes por qué. No es irregular, pero hay verbos (pocos) que sufren este cambio.
Y entonces tenemos:
пишу, пишешь, пишет, пишем, пишете, пишут.

Y todo esto se hizo por la sencilla razón de que las consonantes esas no toleran detrás de ellas unas vocales como ы, ю, я.